Question

1．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足3$\overrightarrow{PA}$+5$\overrightarrow{PB}$+2$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，已知△ABC的面积为6，则△PAC的面积为（　　）

• A． $\frac{9}{2}$
• B． 4
• C． 3
• D． $\frac{12}{5}$

Answer 1

分析 由条件$3\overrightarrow{PA}+5\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{0}$便可得到$3（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）+2（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{0}$，若设AB中点为D，BC中点为E，则可得到$\overrightarrow{PD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{PE}$，从而得出P，D，E三点共线，并且P在中位线DE上，这样即可得出${S}_{△PAB}+{S}_{△PBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$，从而便可得出△PAC的面积．

解答 解：根据条件，$3\overrightarrow{PA}+3\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PB}+2\overrightarrow{PC}$=$3（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）+2（\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}）=\overrightarrow{0}$；
取AB中点D，BC中点E，连接PD，PE，则：
$6\overrightarrow{PD}+4\overrightarrow{PE}=\overrightarrow{0}$；
∴$\overrightarrow{PD}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{PE}$；
∴P，D，E三点共线，且P在线段DE上，如图所示：
则，$DE=\frac{1}{2}AC$；
∴${S}_{△PAB}+{S}_{△PBC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}$；
∴${S}_{△PAC}=\frac{1}{2}{S}_{△ABC}=3$．
故选：C．

点评 考查向量数乘的几何意义，向量的数乘运算，以及向量加法的平行四边形法则，共线向量基本定理，三角形中位线的性质，三角形的面积公式，相似三角形的对应边的比例关系．