Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，已知a2-(b-c)2=(2-

3

)bc且

3

b=c．
（Ⅰ）求A，B的大小；
（Ⅱ）若BC边上的中线AM长为

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）对a2-(b-c)2=(2-

3

)bc，化简得，

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，再由余弦定理，即可得到A，再代入

3

b=c．化简即可得到a=b，即A=B；
（Ⅱ）由B=A=

π

6

，则C=

2π

3

，在三角形ACM中，运用余弦定理即可求出a，再由三角形的面积公式

1

2

absinC，即可得到面积．

解答： 解：（Ⅰ）由a2-(b-c)2=(2-

3

)bc，化简得，
a²-b²-c²=-

3

bc，即

b2+c2-a2

2bc

=

3

2

，
由余弦定理可得，cosA=

3

2

，由0＜A＜π，则A=

π

6

．
又

3

b=c，则a²-b²-3b²=-3b²，即有a=b，
即有B=A=

π

6

．
（Ⅱ）由B=A=

π

6

，则C=

2π

3

，
在三角形ACM中，AC=a，CM=

a

2

，C=

2π

3

，AM=

7

，
由余弦定理得，7=a²+

a2

4

-2a•

a

2

•（-

1

2

），解得a=2，
则△ABC的面积为

1

2

absinC=

1

2

×2×2×sin120°=

3

．

点评：本题考查余弦定理和面积公式的运用，考查内角和定理，以及化简和求值的运算能力，属于中档题．