Question

做一个圆柱形锅炉容积为v，两个底面的材料的造价为20元/m²，侧面的材料造价为15元/m²，问锅炉的底面直径与高的比为多少时造价最低？

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：应用题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：由题意，设设底面半径为r，造价为y元；则侧面的高为

v

πr2

；故y=20×2×πr²+15×2×π×r×

v

πr2

，利用导数求最值点，从而求比值．

解答： 解：设底面半径为r，造价为y元；
则侧面的高为

v

πr2

；
故y=20×2×πr²+15×2×π×r×

v

πr2

=40πr²+30

v

r

，
y′=80πr-

30v

r2

=

80πr3-30v

r2

=0，
则当r³=

3v

8π

时，造价最低；
此时，2r：

v

πr2

=2πr³：v
=2π×

3v

8π

：v
=3：4．

点评：本题考查了函数在实际问题中的应用，同时考查了导数的应用，属于中档题．