Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，（S_n-1）a_n-1=S_n-1a_n-1-a_n（n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n²，数列{b_n}的前n项和为T_n，试比较T_n与2-

1

n

的大小；
（3）若

n

k=1

1

1 an +k

＞-

3

2

+log_a（2a-1）（其中a＞0且a≠1）对任意正整数n都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）通过化简已知条件，推出a_na_n-1-a_n-1+a_n=0，然后得{

1

an

}是以1为首项，1为公差为等差数列，即可求解通项公式．
（2）设b_n=a_n²，求出数列{b_n}的前n项和为T_n，然后比较T_n与2-

1

n

的大小；
（3）若

n

k=1

1

1 an +k

＞-

3

2

+log_a（2a-1）（其中a＞0且a≠1）对任意正整数n都成立，证明g （n）为增函数，求出g （n）|_min，利用 g （n）＞-

3

2

+loga(2a-1)对任意正整数n都成立，得到 

1

2

＞-

3

2

+loga(2a-1)，然后求解即可．

解答： 解：（1）∵（S_n-1）a_n-1=S_n-1 a_n-1-a_n，
∴（S_n-S_n-1-1）a_n-1=-a_n，即  a_na_n-1-a_n-1+a_n=0．
∵a_n≠0，若不然，则a_n-1=0，从而与a₁=1矛盾，∴a_na_n-1≠0，
∴a_na_n-1-a_n-1+a_n=0两边同除以a_na_n-1，得 

1

an

-

1

an-1

=1（n≥2）．
又 

1

a1

=1，∴{

1

an

}是以1为首项，1为公差为等差数列，
则 

1

an

=1+(n-1)×1=n，a_n=

1

n

． …（4分）
（2）∵b_n=a_n²=

1

n2

，∴当 n=1时，T_n=2-

1

n

；
当n≥2时，T_n=

1

12

+

1

22

+…+

1

n2

＜1+

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

(n-1)n

=1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

．…（8分）
（3）

1

1 an +k

=

1

n+k

，∴

n

k=1

1

1 an +k

=

n

k=1

1

n+k

．
设 g（n）=

n

k=1

1

n+k

=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

，
∴g（n+1）-g（n）=

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n+1

+

1

2n+2

-(

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

2n

)=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

＞0，
∴g （n）为增函数，
从而 g （n）|_min=g（1）=

1

2

．  …（10分）
因为 g （n）＞-

3

2

+loga(2a-1)对任意正整数n都成立，
所以 

1

2

＞-

3

2

+loga(2a-1)，得 log _a（2a-1）＜2，即 log _a（2a-1）＜log _aa²．
①当a＞1时，有 0＜2a-1＜a²，解得 a＞

1

2

且a≠1，∴a＞1．
②当0＜a＜1时，有 2a-1＞a²＞0，此不等式无解．
综合①、②可知，实数a的取值范围是（1，+∞）．         …（12分）

点评：本题考查数列与不等式相结合，考查分析问题与解决问题的能力，转化思想的应用．