Question

1．在平面直角坐标系xoy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系．已知曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+2cosα\\ y=3+2sinα\end{array}$，（α∈[0，2π]，α为参数），曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{3}}）=a（{a∈R}）$，若曲线C₁与曲线C₂有且仅有一个公共点，求实数a的值．

Answer 1

分析 求出两曲线的普通方程，根据直线与圆相切列方程解出a．

解答 解：曲线C₁的方程为（x-$\sqrt{3}$）²+（y-3）²=4，圆心坐标为（$\sqrt{3}$，3），半径为2．
∵曲线C₂的极坐标方程为$ρsin（{θ+\frac{π}{3}}）=a（{a∈R}）$，∴$\frac{1}{2}ρsinθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$=a，
∴曲线C₂的直角坐标方程为$\sqrt{3}x+y-2a=0$，
∵曲线C₁与曲线C₂有且仅有一个公共点，
∴$\frac{|3+3-2a|}{2}$=2，解得a=1或a=5．

点评 本题考查了参数方程与普通方程的转化，直线与圆的位置关系，属于中档题．