Question

已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，半径OC与母线PB所成的角的大小等于60°．
（1）求圆锥的侧面积和体积．
（2）求异面直线MC与PO所成的角．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）

专题：空间角

分析：（1）利用求圆锥的侧面积公式和体积公式计算；（2）先作后求，过M作MD⊥AO，从而MD∥PO，∠DMC即异面直线MC与PO所成的角．

解答： （12分） 解：（1）圆锥的侧面积S_侧=πrl=24π．
∵PO=

62-42

=2

5

，
∴V=

1

3

πr²h=

32 5

3

π…（4分）
（2）连MO，过M作MD⊥AO交AO于点D，连DC．
又∴MD=

5

，．又OC=4，OM=3．
又MD∥PO，∴∠DMC等于异面直线MC与PO所成的角或其补角．
又MO∥PB，∴∠MOC=60°或120°．…（9分）
当∠MOC=60°时，∴MC=

13

．∴cos∠DMC=

MD

MC

=

65

13

，∴∠DMC=arccos

65

13

当∠MOC=120°时，∴MC=

37

．∴cos∠DMC=

MD

MC

=

185

37

，∴∠DMC=arccos

185

37

综上异面直线MC与PO所成的角等于arccos

65

13

或arccos

185

37

．…（12分）

点评：本题考查圆锥的侧面积和体积的计算和异面直线所成的角的计算，属基础题．