Question

   设f(n)是定义在N*上的增函数，f(4)＝5，且满足：

①任意n∈N*，f(n)Z；②任意m，n∈N*，有f(m)f(n)＝f(mn)＋f(m＋n－1)．

（1）求f(1)，f(2)，f(3)的值；

（2）求f(n)的表达式．

Answer 1

解：（1）因为f(1)f(4)＝f(4)＋f(4)，所以5 f(1)＝10，则f(1)＝2．

    因为f(n)是单调增函数，

    所以2＝f(1)＜f(2)＜f(3)＜f(4)＝5．

    因为f(n)∈Z，所以f(2)＝3，f(3)＝4．                

（2）解：由（1）可猜想f (n)＝n+1．

    证明：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，

    所以f (n+1)≥f (n)+1．

    首先证明：f (n)≥n+1．

    因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．

    假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)≥k+1．

    则f(k+1)≥f (k)+1≥k+2，即n＝k+1时，命题也成立．

    综上，f (n)≥n+1．                                   

    由已知可得f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)，而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1，

所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即f(n+1)≤3 f (n)－2n－1．

下面证明：f (n)＝n+1．

因为f (1)＝2，所以n＝1时，命题成立．

假设n=k(k≥1)时命题成立，即f(k)＝k+1，

则f(k+1)≤3f (k)－2k－1＝3(k+1)－2k－1＝k＋2，

又f(k+1)≥k＋2，所以f(k+1)＝k＋2．

即n＝k+1时，命题也成立．

所以f (n)＝n+1                                   

解法二：由f(1)＝2，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝5，猜想f(n)＝n＋1．  

下面用数学归纳法证明：

①当n＝1，2，3，4时，命题成立．

②假设当n≤k (k≥4)时，命题成立，下面讨论n＝k＋1的情形．

      

       

          又k＋1＝f(k)＜f(k＋1)＜f(k＋2)＝k＋3．

          所以f(k＋1)＝k＋2

          因此不论k的奇偶性如何，总有f(k＋1)＝k＋2，即n＝k＋1时，命题也成立

          于是对一切n∈N*，f(n)＝n＋1．                          

     解法三：因为f (n)单调递增，所以f (n+1)＞f (n)，又f(n)∈Z，

所以f (n+1)≥f (n)+1，又f(1)＝2，所以f (n)≥n+1                                    

由已知可得：f (2)f (n)＝f (2n)＋f (n+1)

而f(2)＝3，f (2n)≥2n＋1

所以3 f (n)≥f (n+1)＋2n＋1，即：f(n+1)≤3 f (n)－2n－1 

             或者f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1)

             所以有f(n+1)－n－2≤3(f (n)－n－1)

                              ≤3²(f (n－1)－n)

                              ≤3³(f (n－2)－n＋1)

                                   ……

                              ≤3ⁿ(f (1)－2)＝0

             于是f(n+1)≤n＋2

               又f (n＋1)≥n+2

             所以f(n+1)＝n＋2，又f(1)＝2

             所以f(n)＝n＋1