Question

17．已知数列{a_n}满足${2^{a_1}}$•${2^{a_2}}$…${2^{a_n}}$=${2^{\frac{{75n-5{n^2}}}{2}}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）令T_n=|a_n+a_n+1+…+a_n+5|（n∈N^*），求|T_n|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）当n=1时，求得a₁=35；n＞1时，再将n换为n-1，两式相除，可得a_n=40-5n；检验可得数列的通项公式；
（Ⅱ）运用等差数列的求和公式，求得T_n=|15（11-2n）|=15|11-2n|，讨论单调性，可得最小值．

解答 解：（Ⅰ）当n=1时，${2^{a_1}}={2^{35}}$，即有a₁=35，
n≥2时，${2^{a_1}}•{2^{a_2}}…{2^{a_n}}={2^{\frac{{75n-5{n^2}}}{2}}}$，
${2^{a_1}}•{2^{a_2}}…{2^{{a_{n-1}}}}={2^{\frac{{75（{n-1}）-5{{（{n-1}）}^2}}}{2}}}$，
两式相除得，2${\;}^{{a}_{n}}$=2${\;}^{\frac{75n-5{n}^{2}}{2}-\frac{75（n-1）-5（n-1）^{2}}{2}}$，
化简得，${2^{a_n}}={2^{40-5n}}$，即a_n=40-5n；
又a₁=35满足上式，所以a_n=40-5n（n∈N^*）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${a_n}+{a_{n+1}}+…+{a_{n+5}}=\frac{{6（{{a_n}+{a_{n+5}}}）}}{2}=15（{11-2n}）$，
所以T_n=|15（11-2n）|=15|11-2n|，
当1≤n≤5时，T_n递减；n≥6，n∈N^*，T_n递增，
则当n=5，或n=6时，|T_n|的最小值为15．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，注意运用下标变换相除，考查数列的最值的求法，注意运用数列的单调性，考查化简整理的运算能力，属于中档题．