Question

4．已知函数f（x）=lnx-ax（a＞0），设$g（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）$．
（1）判断函数h（x）=f（x）-g（x）零点的个数，并给出证明；
（2）首项为m的数列{a_n}满足：①a_n+1+a_n≠$\frac{2}{a}$；②f（a_n+1）=g（a_n）．其中0＜m＜$\frac{1}{a}，n∈{N^*}$．求证：对于任意的i，j∈N^*，均有a_i-a_j＜$\frac{1}{a}$-m．

Answer 1

分析 （1）由已知求出函数函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域为（0，$\frac{2}{a}$）．利用导数判断函数在定义域上是单调函数，再由$h（{\frac{1}{a}}）=f（{\frac{1}{a}}）-g（{\frac{1}{a}}）=0$可得函数h（x）=f（x）-g（x）在$（{0，\frac{2}{a}}）$上有且仅有一个零点；
（2）由（1）可知h（x）在$（{0，\frac{2}{a}}）$上单调递增，且$h（{\frac{1}{a}}）=0$，故当$x∈（{0，\frac{1}{a}}）$时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；当$x∈（{\frac{1}{a}，\frac{2}{a}}）$时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．由a₁=m及m的范围可得f（a₁）＜g（a₁）=f（a₂），然后判断得${a_2}＜\frac{1}{a}$，结合$x\;∈（{0，\frac{1}{a}}）$时，f（x）单调递增得${a_1}＜{a_2}＜\frac{1}{a}$；同理可证${a}_{2}＜{a}_{3}＜\frac{1}{a}$，…，${a}_{n}＜{a}_{n+1}＜\frac{1}{a}$，则有数列{a_n}为单调递增数列且所有项均小于$\frac{1}{a}$，从而证得对于任意的i，j∈N^*，均有${a_i}-{a_j}＜\frac{1}{a}-m$．

解答 解：（1）函数h（x）=f（x）-g（x）在$（{0，\frac{2}{a}}）$上有且仅有一个零点．
证明如下：函数f（x）=lnx-ax的定义域为（0，+∞），
由$g（x）=f（{\frac{2}{a}-x}）$，可得函数g（x）的定义域为（-∞，$\frac{2}{a}$），
∴函数h（x）=f（x）-g（x）的定义域为（0，$\frac{2}{a}$）．
h（x）=f（x）-g（x）=lnx-ax-ln（$\frac{2}{a}-x$）+2-ax．
h′（x）=$\frac{1}{x}-a+\frac{1}{\frac{2}{a}-x}-a=\frac{\frac{2}{a}}{x（\frac{2}{a}-x）}-2a$$≥\frac{\frac{2}{a}}{（\frac{1}{a}）^{2}}-2a=0$，
当且仅当$x=\frac{1}{a}$时等号成立，因此h（x）在$（{0，\frac{2}{a}}）$上单调递增，又$h（{\frac{1}{a}}）=f（{\frac{1}{a}}）-g（{\frac{1}{a}}）=0$，
故函数h（x）=f（x）-g（x）在$（{0，\frac{2}{a}}）$上有且仅有一个零点；
证明：（2）由（1）可知h（x）在$（{0，\frac{2}{a}}）$上单调递增，且$h（{\frac{1}{a}}）=0$，
故当$x∈（{0，\frac{1}{a}}）$时，h（x）＜0，即f（x）＜g（x）；
当$x∈（{\frac{1}{a}，\frac{2}{a}}）$时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．
∵${a_1}=m（{0＜m＜\frac{1}{a}}）$，∴f（a₁）＜g（a₁）=f（a₂），
若${a_2}≥\frac{1}{a}$，则由$g（{a_1}）=f（{\frac{2}{a}-{a_1}}），\frac{2}{a}-{a_1}＞\frac{1}{a}$，且f（x）在$（{\frac{1}{a}，\frac{2}{a}}）$上单调递减，
知$\frac{2}{a}-{a_1}={a_2}$，即${a_1}+{a_2}=\frac{2}{a}$，这与${a_{n+1}}+{a_n}≠\frac{2}{a}$矛盾，故${a_2}＜\frac{1}{a}$，
而当$x\;∈（{0，\frac{1}{a}}）$时，f（x）单调递增，故${a_1}＜{a_2}＜\frac{1}{a}$；
同理可证${a}_{2}＜{a}_{3}＜\frac{1}{a}$，…，${a}_{n}＜{a}_{n+1}＜\frac{1}{a}$，
故数列{a_n}为单调递增数列且所有项均小于$\frac{1}{a}$，
因此对于任意的i，j∈N^*，均有${a_i}-{a_j}＜\frac{1}{a}-m$．

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，考查利用导数研究函数的单调性，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．