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    15．平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率是$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
    抛物线E：x2=4y的焦点F是C的一个顶点．
    （1）求椭圆C的方程；
    （2）设与坐标轴不重合的动直线l与C交于不同的两点A和B，与x轴交于点M，且$P（\frac{1}{2}，2）$满足kPA+kPB=2kPM，试判断点M是否为定点？若是定点求出点M的坐标；若不是定点请说明理由．

    分析 （1）由已知得b=1，又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a2=b2+c2=1+c2，得a，即可得到所求椭圆方程；
    （2）设直线l：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则M（t，0），
    由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（m2+4）y2+2mty+t2-4=0，
    △=16m2-16t2+64＞0，${y}_{1}{+y}_{2}=\frac{-2mt}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{t}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$，
    由kPA+kPB=2kPM，得$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-\frac{1}{2}}+\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-\frac{1}{2}}=2×\frac{2}{\frac{1}{2}-t}$⇒$\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-\frac{1}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+2}{{x}_{1}{x}_{2}-\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{1-2t}$．
    当t=8时，上式恒成立，

    解答 解：（1）由抛物线E：x2=4y，得F（0，1），即b=1，
    又$e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a2=b2+c2=1+c2，
    解得：a=2，c=$\sqrt{3}$．
    ∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
    （2）设直线l：x=my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），则M（t，0），
    由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$得（m2+4）y2+2mty+t2-4=0，
    △=16m2-16t2+64＞0
    ${y}_{1}{+y}_{2}=\frac{-2mt}{{m}^{2}+4}，{y}_{1}{y}_{2}=\frac{{t}^{2}-4}{{m}^{2}+4}$，
    ${x}_{1}+{x}_{2}=m（{y}_{1}+{y}_{2}）+2t=\frac{-2{m}^{2}t}{{m}^{2}+4}+2t$=$\frac{8t}{{m}^{2}+4}$，x1x2=（my1+t）（my2+t）=$\frac{4{t}^{2}-4{m}^{2}}{{m}^{2}+4}$
    y1x2+y2x1=2my1y2+t（y1+y2）=$\frac{-8m}{{m}^{2}+4}$
    由kPA+kPB=2kPM，得$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-\frac{1}{2}}+\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-\frac{1}{2}}=2×\frac{2}{\frac{1}{2}-t}$⇒
    $\frac{{y}_{1}{x}_{2}+{y}_{2}{x}_{1}-\frac{1}{2}（{y}_{1}+{y}_{2}）-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+2}{{x}_{1}{x}_{2}-\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{4}}$=$\frac{8}{1-2t}$．
    ⇒2t2+（4m-17）t-32m+8=0⇒2t2-17t+8+m（4t-32）=0
    当t=8时，2t2-17t+8+m（4t-32）=0恒成立，
    故M为定点（8，0）．

    点评 本题考查了抛物线与椭圆的方程、性质，直线与椭圆的位置关系，考查了定点问题，属于中档题，

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    C．若a⊥β，α⊥β，则a∥αD．若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β

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    C．若m∥α，α∥β，则m∥βD．若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β

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    A．$\frac{1}{2}$B．2C．$\sqrt{5}$D．$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$

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