Question

已知递增的等比数列{a_n}满足a₂+a₃+a₄=28，a₃+2是a₂，a₄的等差中项，若b_n=（2n-1）a_n，求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：设等比数列的公比为q，由等差数列的中项性质和等比数列的通项，即可求出得a₁，q，注意舍去一个，再由数列的求和方法：错位相减法，求出数列的和．

解答： 解：设等比数列的公比为q，
则由a₃+2是a₂，a₄的等差中项，可得
a₂+a₄=2（a₃+2），
又a₂+a₃+a₄=28，则a₃+2（a₃+2）=28，即有a₃=8，a₂+a₄=20，
即有a₁q²=8，a₁q+a₁q³=20，
解得a₁=2，q=2或a₁=32，q=

1

2

（舍去），
则a_n=2•2^n-1=2ⁿ，
由b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•2ⁿ，
则S_n=1•2+3•2²+5•2³+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ①
则有2S_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
①-②得，-S_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹．
=2+2•

4(1-2n-1)

1-2

-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
故S_n=（2n-3）•2ⁿ⁺¹+6．

点评：本题考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查等差数列的性质，以及数列求和的方法：错位相减法，考查运算能力，属于中档题．