Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知AC=BC=AA₁=a，∠ACB=90°，D是A₁B₁中点．
（1）求证：C₁D⊥平面A₁B₁BA；
（2）请问，当点F在BB₁上什么位置时，会使得AB₁⊥平面C₁DF？并证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据AC=BC，判断出△ABC为等腰三角形，又A₁D=DB₁，知C₁D⊥A₁B₁，最后利用线面垂直的判定定理推断出C₁D⊥平面A₁B₁BA
（2）由（1）可得：C₁D⊥AB₁，又要使AB₁⊥平面C₁DF，只要DF⊥AB₁即可，又∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，且AC=BC=AA₁=a，求得A₁B₁=

2

a，由△AA₁B₁∽△DB₁F，推断出

AA1

DB1

=

A1B1

B1F

，进而可知B₁F=a即当：F点与B点重合时，会使AB₁⊥平面C₁DF．

解答： 解：（1）∵AC=BC，
∴△ABC为等腰三角形，
又∵A₁D=DB₁，
∴C₁D⊥A₁B₁，
∵C₁D⊥A₁A，AA₁∩A₁B₁=A₁，
∴C₁D⊥平面A₁B₁BA
（2）由（1）可得：C₁D⊥AB₁，
 又要使AB₁⊥平面C₁DF，只要DF⊥AB₁即可，
又∵∠ACB=∠A₁C₁B₁=90°，且AC=BC=AA₁=a，
∴A₁B₁=

2

a，
∵△AA₁B₁∽△DB₁F，
∴

AA1

DB1

=

A1B1

B1F

，
∴B₁F=a
即当：F点与B点重合时，会使AB₁⊥平面C₁DF．

点评：本题主要考查了线面垂直的判定定理．考查了学生分析和推理的能力．