Question

19．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象如图．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）求函数f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调增区间．
（3）根据f（x）得解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的值域．

解答 解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在一个周期内的图象，
可得A=2，$\frac{1}{2}•\frac{2π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$），∴ω=2．
再根据五点法作图可得2•（-$\frac{π}{12}$）+φ=$\frac{π}{2}$，∴φ=$\frac{2π}{3}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$）．
（2）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{2π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得 kπ-$\frac{7π}{12}$≤x≤kπ-$\frac{π}{12}$，故函数的增区间为[kπ-$\frac{7π}{12}$，kπ-$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（3）由f（x）=2sin（2x+$\frac{2π}{3}$），利用正弦函数的值域，可得它的值域为[-2，2]．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值．正弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．