Question

11．设f（x）是定义域在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x-2）=f（x+2），且当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0（a＞1）至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，则实数a的取值范围是$[{\root{3}{4}，2}）$．

Answer 1

分析 由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，根据函数与方程之间的关系，转化为函数f（x）的与函数y=-log_a^x+2的图象至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，利用数形结合即可得到实数a的取值范围．

解答 解：∵对于任意的x∈R，都有f（x-2）=f（2+x），
∴f（x）=f（x+4），即函数f（x）是一个周期为4的周期函数，
又∵当x∈[-2，0]时，f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，
若在区间（-2，6]内关于x的方程f（x）-log_a（x+2）=0至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，
则函数y=f（x）与y=log_a（x+2）在区间（-2，6]上至少有两个不同的实数根，至多有3个不同的实数根，如下图所示：

又f（-2）=f（2）=3，
则对于函数y=log_a（x+2），由题意可得，当x=2时的函数值小于等于3，当x=6时的函数值大于3，
即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}4≤3}\\{lo{g}_{a}8＞3}\end{array}\right.$，由此解得：$\root{3}{4}$≤a＜2，
故答案为：[$\root{3}{4}$，2）．

点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题．