Question

证明以下命题：
（1）对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列；
（2）存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列.

Answer 1

存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列

证明：（1）易知成等差数列，故也成等差数列，
所以对任一正整数，都存在正整数，使得成等差数列．
（2）若成等差数列，则有，
即                                        …… ①
选取关于的一个多项式，例如，使得它可按两种方式分解因式，由于

因此令，可得    …… ②
易验证满足①，因此成等差数列，
当时，有且
因此为边可以构成三角形．
其次，任取正整数，假若三角形与相似，则有：
，据比例性质有：

所以，由此可得，与假设矛盾，
即任两个三角形与互不相似，
所以存在无穷多个互不相似的三角形,其边长为正整数且成等差数列．