Question

三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，点A，BC₁的中点M以及B₁C₁的中点N所决定的平面把三棱柱切割成体积不同的两部分，那么小部分的体积与大部分的体积比是（　　）

• A、13：36
• B、13：23
• C、23：36
• D、以上都不正确

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：作出截面DNMA，几何体扩展为三棱锥，利用特殊几何体的体积求解一般性结论，推出结果即可．

解答： 解：延长MN与CC₁的交点为P，CB的交点为Q，
连结AP交A₁C₁于D，连结DN，
可得截面为DNMA，由题意知A₁D=2DC₁．
不妨设三棱柱是直三棱柱，
底面AB⊥BC，且设AB=BC=AA₁=2，
下部分的体积为：V_P-AQC-V_P-DNC1-V_M-AQB，
QB=1，MB=1，NC=1，PC₁=1．
棱柱的体积为V=

1

2

×2×2×2=4，
下部分的体积为：

1

3

×

1

2

×3×2×3-

1

3

×

1

2

×1×2-

1

3

×

1

2

×1×

2

3

×1=

23

9

，
上部分几何体的体积为：4-

23

9

=

13

9

，
∴小部分的体积与大部分的体积比为：

13

9

：

23

9

=13：23，
故选：B．

点评：本题考查几何体截面的作法，几何体的体积的求法，考查空间想象能力与转化思想，考查逻辑推理能力．