Question

18．为了了解某年级1 000名学生的百米成绩情况，随机抽取了若干学生的百米成绩，被抽取学生的成绩全部介于13秒与18秒之间，将成绩按如下方式分成五组：第一组[13，14）；第二组[14，15）；…；第五组[17，18]．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右的前3个组的频率之比为2：8：20，且第二组的频数为8．
（Ⅰ）将频率当作概率，请估计该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数；
（Ⅱ）求调查中随机抽取了多少名学生的百米成绩；
（Ⅲ）若从第一、五组中随机取出两名学生的成绩，求这两名学生的成绩的差的绝对值大于1的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出百米成绩在[16，17）内的频率，然后求解该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数．
（Ⅱ）设图中从左到右的前3个组的频率分别为2x，8x，20x．利用概率和为1，求出x，然后求解调查中随机抽取学生的百米成绩的人数．
（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生人数，记他们的成绩为a，b，百米成绩在第五组的学生人数记他们的成绩为m，n，p，q，列出所有的基本事件数目，满足成绩的差的绝对值大于1的基本事件个数，然后求解概率．

解答 解：（Ⅰ）百米成绩在[16，17）内的频率为0.32×1=0.32，
0.32×1000=320所以估计该年级学生中百米成绩在[16，17）内的人数为320人…（4分）
（Ⅱ）设图中从左到右的前3个组的频率分别为2x，8x，20x．
依题意，得2x+8x+20x+0.32×1+0.08×1=1，解得x=0.02…（6分）
设调查中随机抽取了n名学生的百米成绩，则8×$0.02=\frac{8}{n}$，解得n=50，
故调查中随机抽取了50名学生的百米成绩…（8分）
（Ⅲ）百米成绩在第一组的学生人数为2×0.02×50=2，记他们的成绩为a，b，
百米成绩在第五组的学生人数为0.08×1×50=4，记他们的成绩为m，n，p，q，
则从第一、五组中随机取出两名学生的成绩包含的基本事件有：{a，b}，{a，m}，{a，n}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，{m，n}，{m，p}，{m，q}，{n，p}，{n，q}，{p，q}，共15个…（10分）
其中满足成绩的差的绝对值大于1的基本事件有：{a，m}，{a，p}，{a，q}，{b，m}，{b，n}，{b，p}，{b，q}，共8个，所以所求概率P=$\frac{8}{15}$…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，古典概型的概率的求法，考查计算能力．