Question

13．（1）已知2sinx=sin（$\frac{π}{2}$-x），求$\frac{cos2x}{1+sin2x}$的值；
（2）求函数f（x）=ln（sinx-$\frac{1}{2}$）+$\sqrt{1-tanx}$的定义域．

Answer 1

分析 （1）根据条件得到cosx=2sinx，利用1的代换进行化简即可．
（2）根据函数成立的条件即可求函数的定义域．

解答 解：（1）∵2sinx=sin（$\frac{π}{2}$-x）=cosx，
∴$\frac{cos2x}{1+sin2x}$=$\frac{cos^2x-sin^2x}{sin^2x+cos^2x+2sinxcosx}$=$\frac{4sin^2x-sin^2x}{sin^2x+4sin^2x+4sin^2x}$=$\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$．
（2）要使函数有意义，则$\left\{\begin{array}{l}{sinx-\frac{1}{2}＞0}\\{1-tanx≥0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{sinx＞\frac{1}{2}}\\{tanx≤1}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{2kπ+\frac{π}{6}＜x＜2kπ+\frac{5π}{6}，k∈Z}\\{kπ-\frac{π}{2}＜x≤kπ+\frac{π}{4}，k∈Z}\end{array}\right.$，
即2kπ+$\frac{π}{6}$＜x≤2kπ+$\frac{π}{4}$，或2kπ+$\frac{π}{2}$＜x＜2kπ+$\frac{5π}{6}$，k∈Z，
即函数的定义域为（2kπ+$\frac{π}{6}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]∪（2kπ+$\frac{π}{2}$，2kπ+$\frac{5π}{6}$），k∈Z．

点评 本题主要考查函数定义域的求解以及三角函数值的化简和求解，利用1的代换是解决本题的关键．