Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n＝2n²＋2n，数列{b_n}的前n项和T_n＝2－b_n.

(1) 求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；

(2) 设c_n＝a·b_n，证明：当且仅当n≥3时，c_n＋1<c_n.

Answer 1

 (1) 解：a₁＝S₁＝4，当n≥2时，a_n＝S_n－S_n－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.

又a₁＝4适合上式，∴a_n＝4n(n∈N^*)．

将n＝1代入T_n＝2－b_n，得b₁＝2－b₁，∴T₁＝b₁＝1.

当n≥2时，T_n－1＝2－b_n－1，T_n＝2－b_n，

∴b_n＝T_n－T_n－1＝b_n－1－b_n，

∴b_n＝b_n－1，∴b_n＝2^1－n.

(2) 证明：证法1：由c_n＝a·b_n＝n²·2^5－n，

得

当且仅当n≥3时，，即c_n＋1<c_n.

证法2：由c_n＝a·b_n＝n²·2^5－n，

得c_n＋1－c_n＝2^4－n[(n＋1)²－2n²]＝2^4－n[－(n－1)²＋2]．

当且仅当n≥3时，c_n＋1－c_n<0，即c_n＋1<c_n.