Question

16．已知函数f（x）=xe^x-e^x+1．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）证明：不等式f（x）+x＜0对于任意的x∈（-1，0），恒成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，结合导函数在各区间段内的符号得到原函数的单调性，求出极值，从而得到函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）+x，利用导数求出函数g（x）在（-1，0）上为增函数，可得g（x）＜g（0）=0，得到不等式f（x）+x＜0对于任意的x∈（-1，0）恒成立．

解答 （Ⅰ）解：∵f（x）=xe^x-e^x+1，
∴f′（x）=xe^x，令f′（x）=0，得x=0．
列表如下：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f（x）	减函数	极小值	增函数
f′（x）	-	0	+

∴f（x）_min=f（0）=0；
（Ⅱ）证明：设g（x）=f（x）+x=xe^x-e^x+x+1，g′（x）=xe^x+1．
∵-1＜x＜0，∴0＜e^x＜1，
∴-1＜xe^x＜0，即g′（x）＞0，
则g（x）在（-1，0）上单调递增，
∴当-1＜x＜0时，g（x）＜g（0）=0，则原不等式成立．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，是中档题．