Question

已知圆C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0.

(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；

(2)从圆C外一点P(x，y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求点P的轨迹方程．

Answer 1

　(1)由圆C：x²＋y²＋2x－4y＋3＝0，

得圆心坐标C(－1,2)，半径r＝，

∵切线在两坐标轴上的截距相等且不为零．

设直线l的方程为x＋y＝a，

∵直线l与圆C相切，

∴＝，

∴a＝－1或a＝3.

∴所求直线l的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.

(2)∵切线PM与半径CM垂直，设P(x，y)，

又∵|PM|²＝|PC|²－|CM|²，|PM|＝|PO|，

∴(x＋1)²＋(y－2)²－2＝x²＋y²，

∴2x－4y＋3＝0，

∴所求点P的轨迹方程为2x－4y＋3＝0.