Question

如图所示，四棱锥S－ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝AD＝a，点E是SD上的点，且DE＝λa(0<λ≤1)．

(1)求证：对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE；

(2)若二面角C－AE－D的大小为60°，求λ的值．

Answer 1

解　

(1)证明：如图所示，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，D(0,0,0)，E(0,0，λa)，

对任意λ∈(0,1]都成立，

即对任意的λ∈(0,1]，都有AC⊥BE.

(2)显然n＝(0,1,0)是平面ADE的一个法向量，

设平面ACE的法向量为m＝(x，y，z)，

令z＝1，则x＝y＝λ，∴m＝(λ，λ，1)．

∵二面角C－AE－D的大小为60°，

∴cos〈n，m〉＝＝＝，

∵λ∈(0,1]，∴λ＝.