Question

已知f（x）是二次函数，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），且f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+1=0平行．求f（x）的解析式．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：计算题,导数的概念及应用,不等式的解法及应用

分析：根据二次函数小于0的解集，设出解析式，利用导数求得f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率，结合切线与直线6x+y+1=0平行时斜率相等，列出方程，解出待定系数．

解答： 解：∵f（x）是二次函数，且f（x）＜0的解集是（0，5），
∴可设f（x）=ax（x-5）=ax²-5ax，（a＞0）．
∵f′（x）=2ax-5a，
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率是：f′（1）=-3a=-6．
∴a=2，
∴f（x）=2x（x-5）=2x²-10x（x∈R）．

点评：本题考查导数的几何意义：曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线的位置关系和二次不等式的解法，以及函数解析式的求法，属于基础题．