Question

动点与点的距离和它到直线的距离相等，记点的轨迹为曲线．

(1) 求曲线的方程；

(2) 设点2,动点在曲线上运动时，的最短距离为，求的值以及取到最小值时点的坐标；

(3) 设为曲线的任意两点，满足(为原点)，试问直线是否恒过一个定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由．

Answer 1

(1) 根据抛物线的定义可知, 动点的轨迹是抛物线   

所以曲线C的方程为x2=4y；

(2) 设点T(x0, y0), x02=4y0 (y0≥0)，

|AT|==，

a–2>0，则当y0=a–2时，|AT|取得最小值为2，

2=a–1,  a2–6a+5=0，a=5或a=1 (舍去)，

所以y0=a–2=3，x0=2，所以T坐标为(2, 3)；

(3) 显然直线OP1、OP2的斜率都必须存在，记为k，，

，解之得P1(,)，同理P2(–4k, 4k2)，

直线P1P2的斜率为，直线P1P2方程为：

整理得：k(y–4)+(k2–1)x=0，所以直线P1P2恒过点(0, 4)