Question

【题目】已知椭圆： ，左焦点是.

（1）若左焦点与椭圆的短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆上.求椭圆的方程；

（2）过原点且斜率为的直线与（1）中的椭圆交于不同的两点，设，求四边形的面积取得最大值时直线的方程；

（3）过左焦点的直线交椭圆于两点，直线交直线于点，其中是常数，设， ，计算的值（用的代数式表示）.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：(1)利用已知条件列方程组求出 的值,从而求出椭圆的标准方程; (2)设直线 的方程 ,联立直线和椭圆方程,求出 ,分别求出点 到直线的距离,求出四边形 的面积,利用基本不等式求出最大值得到 ,再求出直线 的方程; (3)设直线 的方程为 ,联立直线和椭圆方程,求出两根之和,两根之积, 由向量共线求出 的表达式,代入化简,求出 的值.

试题解析:（1） ， 所以椭圆方程

（2）设直线的方程

联立，可以计算

，

所以直线的方程是

（3）设直线的方程交椭圆于

直线交直线于点，根据题设， 得到

， ，

得，

点睛: 本题主要考查了求椭圆的方程, 四边形面积的计算, 以及求参数的值, 属于中档题. 本题涉及的考点有椭圆标准方程，点到直线距离公式，基本不等式，向量共线定理等，考查学生的运算求解能力以及分析问题、解决问题的能力.