Question

如图，正三棱锥A-BCD放置在平面α上，AD=kCD，O是底面△BCD的中心，E是CD的中点，下列说法中，错误的是（　　）

• A、k＞

  3

  3

• B、当AD=CD=1时，将三棱锥绕直线AO旋转一周所形成的几何 体的体积是

  6 π

  27

• C、动点P在截面ABE上运动，且到点B的距离与到点侧面ACD的距离相等，则点P在抛物线弧上
• D、当k=

  2

  2

  ，CD=1时，将该三棱锥绕棱CD转动，则三棱锥在平面α上投影面积的最大值是

  2

  2

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,旋转体（圆柱、圆锥、圆台）,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：

分析：A选项可以通过AB和BO的长度比较来判断k的取值范围，B选项可以通过求圆锥面积算出，C选项可以根据抛物线的性质确定，D选项可以通过投影面积的求法和适当的放缩来比较．

解答： 解：A选项，AD=AB＞BO，假设BC边长为1，连接OC，则有∠OBC=∠OCB=30°，过D做BC的垂线交BC于H，则可知OC=DO=BO=2OH
∴BO=

2

3

BE，易求出BE=

3

2

∴BO=

3

3

∴k＞

3

3

，A正确
B选项，旋转一周所得图形其实就是个圆锥形，底边圆的半径为r=BO=

3

3

，高A0可由直角三角形ABO求出，AO=

6

3

∴V_体积=

1

3

×hS=

1

3

×

6

3

×π×（

3

3

）²=

6

27

π，B正确
C选项，通过分析可以看出，点P到面ACD的距离其实就是点P到线AE的距离，因为面ABE垂直面AEC，且交线为AE
∴通过抛物线的定义可知，抛物线到焦点的距离等于到准线的距离
∴P在抛物线上，C正确
D选项，易求出三角形BCD的面积为：S_BCD=

3

4

，三角形ADC的面积为S_ADC=

2

4

，当绕CD转动时，我们假设转动的角度为a，则有面BCD在α的射影面积为：S_BCD投影=

3

4

cosa，通过图象分析，我们发现当a小于一定角度时，面BCD和面ADC的投影面积是重合的，所以他们的射影面积和要小于当面ADC垂直面α时一起转动的射影面积之和．当面ADC垂直面α，然后转动的角度为a时，它的射影面积为S_ADC投影=

2

4

sina，所以他们的射影面积之和要小于：

3

4

cosa+

2

4

sina=

5

4

sin（a+β）≤

5

4

＜

2

2

，所以D选项是错误的．
故选D

点评：几何题先作图，然后根据各图形的特点做合理的运算