Question

17．已知正项数列{a_n}满足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁，a_k，S_k+2成等比数列，求正整数k．

Answer 1

分析 （1）由已知得（a_n-2n）（a_n+1）=0，从而得到a_n=2n．
（2）{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，从而S_n=n²+n，由a₁，a_k，S_k+2成等比数列，得4k²=2[（k+2）²+（k+2）]，由此能求出正整数k．

解答 解：（1）∵正项数列{a_n}满足a_n²-（2n-1）a_n-2n=0．
∴（a_n-2n）（a_n+1）=0，
∴a_n=2n，或a_n=-1（舍），
∴a_n=2n．
（2）∵a_n=2n，∴{a_n}是首项为2，公差为2的等差数列，
∴S_n=$2n+\frac{n（n-1）}{2}×2$=n²+n，
∵a₁，a_k，S_k+2成等比数列，
∴${{a}_{k}}^{2}={a}_{1}•{S}_{k+2}$，
∴4k²=2[（k+2）²+（k+2）]，
整理，得k²-5k-6=0，
k=3或k=-2（舍）．
∴正整数k为3．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查正整数的值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．