Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n，满足4S n=(an+1)2，设b_n=a2n-1，T_n=b₁+b₂+…b_n（n∈N^*），则当T_n＞2013时，n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由4S_n=（a_n+1）²，推导出a_n=2n-1，从而得到b_n=a2n-1=2ⁿ-1，利用分组求和法求出T_n，再由指数的性质能求出当T_n＞2013时，n的最小值．

解答： 解：∵4S_n=（a_n+1）²，
∴Sn=

(an+1)2

4

，Sn+1=

(an+1+1)2

4

，
∴Sn+1-Sn=an+1=

(an+1+1)2-(an+1)2

4

，
∴4a_n+1=an+12-an2+2an+1-2an，
∴2（a_n+1+a_n）=（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n），
∵a_n+1+a_n≠0，
∴a_n+1-a_n=2，
即{a_n}为公差等于2的等差数列，
由（a₁+1）²=4a₁，解得a₁=1，
∴a_n=2n-1．
∴b_n=a2n-1=2•2^n-1-1=2ⁿ-1，
∴T_n=（2-1）+（2²-1）+（2³-1）+…+（2ⁿ-1）
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-n=

2(1-2n)

1-2

-n=2ⁿ⁺¹-2-n，
∵T_n＞2013，∴2ⁿ⁺¹-n＞2015，
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048，
∴当T_n＞2013时，n的最小值为10．
故答案为：10．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法及其应用，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用．