Question

各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁=1，2a₂+a₃=15．
（Ⅰ）求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）若等差数列{b_n}满足b₁=a₂，b₃=a₃，求数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等比数列的通项公式，求出公比，从而可求出数列{a_n}通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an=3n-1，利用b₁=a₂，b₃=a₃，可求得b_n=3n，从而得到anbn=n•3n，利用错位相减法能求出数列{a_nb_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（Ⅰ）由题意知q＞0，2q+q²=15，
解得q=3或q=-5（舍），
∴a₁=1，
∴an=3n-1．
（Ⅱ）设等差数列{b_n}的公差为d，
∵b₁=a₂，b₃=a₃，
∴b₁=3，b₁+2d=9，解得d=3，
∴b_n=3+3（n-1）=3n，
∵an=3n-1，
∴anbn=n•3n，
∴Sn=1×3+2×32+3×33+…+n•3n，①
3S_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n•3ⁿ⁺¹，②
①-②，得：
-2S_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n•3ⁿ⁺¹
=

3

2

(3n-1)-n•3n+1，
∴S_n=

n

2

•3n+1-

3

2

n+

3

4

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．