Question

已知A、B、C是单位圆上三个互不相同的点．若|

AB

|=|

AC

|，则

AB

•

AC

的最小值是（　　）

• A、0
• B、-

  1

  4

• C、-

  1

  2

• D、-

  3

  4

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆的圆心为O（0，0），点A（0，1），点B（x₁，y₁），则点C（-x₁，y₁），x12+y12=1，且-1≤y₁＜1．根据

AB

•

AC

=2y12-2y₁，再利用二次函数的性质求得它的最小值．

解答： 解：由题意可得，点A在BC的垂直平分线上，不妨设单位圆
的圆心为O（0，0），
点A（0，1），点B（x₁，y₁），则点C（-x₁，y₁），
-1≤y₁＜1．
∴

AB

=（x₁，y₁-1），

AC

=（-x₁，y₁-1），x12+y12=1．
∴

AB

•

AC

=-x12+y12-2y₁+1=-（1-y12）+y12-2y₁+1
=2y12-2y₁，
∴当y₁=

1

2

时，

AB

•

AC

取得最小值为-

1

2

，
故选：C．

点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，二次函数的性质，属于中档题．