Question

在等差数列S_n中，已知a₃=5，a₁+a₂+…+a₇=49．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）若bn=

1

anan+1

(n∈N*)，设数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较a_n+2与16S_n的大小．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件，利用等差数列的通项公式和前n项和公式，列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a_n．
（Ⅱ）由a_n=2n-1，bn=

1

anan+1

(n∈N*)，推导出b_n=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，由此利用裂项求和法求出S_n，从而能够比较a_n+2与16S_n的大小．

解答： （本小题满分14分）
（Ⅰ）解：由题意得：

a1+2d=5 7a1+21d=49

…（2分）
解得

a1=1 d=2

，…（4分）
∴a_n=2n-1．…（6分）
（Ⅱ）解：∵a_n=2n-1，bn=

1

anan+1

(n∈N*)，
∴b_n=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，…（7分）
∴Sn=b1+b2+…+bn=

1

2

[(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)]=

n

2n+1

…（10分）
∴a_n+2-16S_n=2n+3-

16n

2n+1

=

(2n-1)(2n-3)

2n+1

，…（12分）
所以当n=1时，a_n+2＜16S_n；
当n≥2时，a_n+2＞16S_n．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法及其应用，是中档题，解题时要注意裂项求和法的合理运用．