Question

如图所示，在直径为BC的半圆中，A是弧BC上一点，正方形PQRS内接于△ABC，若BC=a，∠ABC=θ，设△ABC的面积为S_l，正方形PQRS的面积为S₂．
（1）用a，θ表示S₁和S₂；
（2）当a固定，θ变化时，求

S1

S2

取得最小值时θ的值．

Answer 1

考点：三角函数的最值,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：（1）根据AB=acosθ，AC=asinθ，可得S₁=

1

2

•AB•AC的值．设正方形边长为x，BQ=x•cotθ，RC=x•tanθ，
则由BC=x+x•cotθ+x•tan θ=a，解得x的值，可得S₂=x² 的值．
（2）根据

S1

S2

=

1

4

sin2θ+

1

sin2θ

+1，设sin 2θ=t，则y=

S1

S2

=

1

4

（t+

4

t

+4），由于f（t）=t+

4

t

（0＜t≤1），以及f（t）在（0，1]上是减函数，可得 

S1

S2

取最小值，以及此时的θ值．

解答： 解：（1）因为AB=acosθ，AC=asinθ，∴S₁=

1

2

•AB•AC=

1

2

a•cosθ•asinθ=

1

4

 a²sin 2θ．
设正方形边长为x，BQ=x•cotθ，RC=x•tanθ，
则x+x•cotθ+x•tan θ=a，解得x=

a•sinθcosθ

sinθcosθ+1

，
所以S₂=x²=

a2•sin2θ•cos 2θ

sin2θcos 2θ+1+2sinθcosθ

．
（2）当a固定，θ变化时，

S1

S2

=

sin2θ•cos 2θ+1+2sinθcosθ

2sinθcosθ

=

sinθcosθ

2

+

1

2sinθcosθ

+1
=

1

4

sin2θ+

1

sin2θ

+1，
设sin 2θ=t，则y=

S1

S2

=

1

4

（t+

4

t

+4），
∵0＜t≤1，f（t）=t+

4

t

（0＜t≤1），
易证f（t）在（0，1]上是减函数．
故当t=1时，f（t）取得最小值，此时，

S1

S2

 取最小值，此时，2θ=

π

2

，θ=

π

4

．

点评：本题主要考查直角三角形中的边角关系，利用函数的单调性求函数的最值，属于中档题．