Question

在锐角△ABC中，角A、B、C所对的边分别是 a，b，c，且满足

3

a-2bsinA=0．
（Ⅰ）求角B的大小；           
（Ⅱ）若b=

7

，a=3，求c的值；
（Ⅲ）若b=

7

，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（Ⅰ）利用正弦定理可求得sinB=

3

2

，在锐角△ABC中，可得角B的值；
（Ⅱ）依题意，利用余弦定理可求得c=2或c=1，经分析可舍去后者，从而可得c的值；
（Ⅲ）由S=

1

2

acsinB=

3

4

ac，及a²+c²-ac=7，利用基本不等式即可求得△ABC的面积的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）∵在锐角△ABC中，

3

a-2bsinA=0，
∴

3

sinA-2sinBsinA=0，
∵sinA＞0，
∴sinB=

3

2

，又B为锐角，则B=

π

3

；
（Ⅱ）由（1）可知，B=

π

3

，
∵b=

7

，根据余弦定理，得 7=a²+c²-2accos

π

3

，
整理，得（a+c）²-3ac=7
∵a=3，
∴c²-3c+2=0，
∴c=2或c=1，
当c=1时，（1²+(

7

)2=8＜3²，A为钝角，与已知△ABC为锐角三角形矛盾，故舍去，
∴c=2；
（Ⅲ）S=

1

2

acsinB=

3

4

ac，又a²+c²-ac=7，a²+c²=ac+7≥2ac，
∴ac≤7，
∴S≤

7 3

4

，即△ABC的面积的最大值为

7 3

4

．

点评：本题考查正弦定理与余弦定理，考查函数与方程思想，等价转化思想、分类讨论思想的综合应用，考查运算与求解能力，属于中档题．