Question

已知函数f（x）=x+sinx．项数为19的等差数列{a_n}满足a_n∈(-

π

2

，

π

2

)，且公差d≠0．若f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₁₈）+f（a₁₉）=0，则当k=

 

时，f（a_k）=0．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由函数f（x）=x+sinx，可得图象关于原点对称，图象过原点，根据项数为19的等差数列{a_n}满足a_n∈(-

π

2

，

π

2

)，且公差d≠0，我们易得a₁，a₂，…，a₁₉前后相应项关于原点对称，则f（a₁₀）=0，易得k值．

解答： 解：因为函数f（x）=x+sinx是奇函数，
所以图象关于原点对称，图象过原点．
而等差数列{a_n}有19项，a_n∈(-

π

2

，

π

2

)，
若f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+…+f（a₁₉）=0，
则必有f（a₁₀）=0，
所以k=10．
故答案为：10．

点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，等差数列的性质应用，属于中档题．