Question

3．如图，圆O的半径OB垂直于直径AC，M为AO上一点，BM的延长线交圆O于N，过N 点的切线交C A 的延长线于P
（1）求证：PM²=PA．PC
（2）若MN=2，OA=$\sqrt{3}$OM，求劣弧$\widehat{BN}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接ON，则ON⊥PN，由半径相等可得OB=ON，可得∠OBM=∠ONB，利用切线的性质和已知可得∠BOM=∠ONP=90°，进而可得∠PMN=∠PNM，再利用切割线定理即可证明；
（2）由相交弦定理得⊙O的半径，再求劣弧$\widehat{BN}$的长．

解答 （1）证明：连结ON，则ON⊥PN，且△OBN为等腰三角形，则∠OBN=∠ONB，
∵∠PMN=∠OMB=90°-∠OBN，
∠PNM=90°-∠ONB，
∴∠PMN=∠PNM，∴PM=PN．
根据切割线定理，有PN²=PA•PC，
∴PM²=PA•PC．…（5分）
（2）解：设$OM=x∴OA=\sqrt{3}x$，则在直角△OBM中，BM=2x
又$MA=\sqrt{3}x-x，CM=\sqrt{3}x+x$，由相交弦定理得$2x×2=（\sqrt{3}x+x）•（\sqrt{3}x-x）∴x=2$
故⊙O的半径$r=2\sqrt{3}$，
∴BN弧长$l=2\sqrt{3}•\frac{2π}{3}=\frac{{4\sqrt{3}π}}{3}$…（10分）

点评 本题综合考查了圆的切线的性质、切割线定理、相交弦定理等基础知识，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力．