Question

4．数列{a_n}中，a₃=2，a₇=1，又数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是等差数列，则a₈=（　　）

• A． $\frac{11}{13}$
• B． 0
• C． $\frac{2}{3}$
• D． -1

Answer 1

分析 根据数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是等差数列，求出数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$的公差，进行求解即可．

解答 解：∵数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}+1}}}\right\}$是等差数列，
∴数列的第三项为$\frac{1}{{a}_{3}+1}$=$\frac{1}{2+1}$=$\frac{1}{3}$，第七项为$\frac{1}{{a}_{7}+1}=\frac{1}{1+1}$=$\frac{1}{2}$，
则设公差为d，则$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{3}$+4d，
即4d=$\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$=$\frac{1}{6}$，则d=$\frac{1}{24}$，
则$\frac{1}{{a}_{8}+1}$=$\frac{1}{2}+d=\frac{1}{2}+$$\frac{1}{24}$=$\frac{13}{24}$，
则a₈+1=$\frac{24}{13}$，
即a₈=$\frac{24}{13}$-1=$\frac{11}{13}$，
故选：A．

点评 本题主要考查等差数列的应用，根据条件结合等差数列的通项公式求出公差是解决本题的关键．