Question

若sin²α+2sin²β=1，3（sinα+cosα）²-2（sinβ+cosβ）²=1，求cos 2（α+β）．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,三角函数的化简求值

专题：综合题,三角函数的求值

分析：利用cos2β=sin²α，sin2β=

3

2

sin2α，sin²2β+cos²2β=1得sin²α=1或sin²α=

1

8

，从而可求得cos 2（α+β）．

解答： 解：∵sin²α+2sin²β=1，
∴sin²α=1-2sin²β=cos2β，①
又3（sinα+cosα）²-2（sinβ+cosβ）²=1，
∴3（1+sin2α）-2（1+sin2β）=1，
∴3sin2α=2sin2β，②
由sin²2β+cos²2β=1得：

9

4

sin²2α+sin⁴α=1，
即

9

4

×4sin²α（1-sin²α）+sin⁴α=1，
∴8sin⁴α-9sin²α+1=0，
解得：sin²α=1或sin²α=

1

8

．
∵cos 2（α+β）=cos2αcos2β-sin2αsin2β
=cos2α•sin²α-2sinαcosα×

3

2

×2sinαcosα
=（1-2sin²α）•sin²α-6sin²α（1-sin²α）
=4sin⁴α-5sin²α，
∴当sin²α=1时，cos 2（α+β）=4-5=-1；
当sin²α=

1

8

时，cos 2（α+β）=4×(

1

8

)4-5×(

1

8

)2=-

79

1024

．
∴cos 2（α+β）=-1或cos 2（α+β）=-

79

1024

．

点评：本题考查两角和与差的余弦函数，考查三角函数的化简求值，考查转化思想与综合运算能力，属于难题．