Question

记Z=（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²（x≠0，x，y∈R），则Z的最小值是

 

．

Answer 1

考点：函数在某点取得极值的条件

专题：计算题,导数的概念及应用

分析：Z=（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²表示点A（x，

2

x

），B（y，-

y

2

），两点之间距离的平方，点A的轨迹方程是y=

2

x

，点B的轨迹方程是y=-

x

2

，求出平行于y=-

x

2

与y=

2

x

相切的直线方程，即可得出结论．

解答： 解：Z=（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²表示点A（x，

2

x

），B（y，-

y

2

），两点之间距离的平方，
点A的轨迹方程是y=

2

x

，点B的轨迹方程是y=-

x

2

，
设平行于y=-

x

2

与y=

2

x

相切的直线方程为y=-

x

2

+b，
由y=

2

x

，可得y′=-

2

x2

，
令-

2

x2

=-

1

2

，可得x=±2，
∴y=±1，
代入y=-

x

2

+b，可得b=±2，
∴两点之间距离的最小值是

|b|

1 4 +1

=

4

5

，
∴Z的最小值是

16

5

．
故答案为：

16

5

．

点评：本题考查曲线的切线方程，考查学生分析解决问题的能力，正确理解Z=（x-y）²+（

2

x

+

y

2

）²表示点A（x，

2

x

），B（y，-

y

2

），两点之间距离的平方是关键．