Question

已知函数f（x）=

x+a

x2+b

是定义在R上的奇函数
（1）当b=2时，求f（x）的值域；
（2）若f（x）的值域为[-

1

4

，

1

4

]，求b的值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是奇函数求出a的值，利用判别式法即可求出函数的值域．
（2）将函数转化为一元二次方程，利用判别式恒成立即可求出函数的值域，利用值域关系即可求出b的值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=

x+a

x2+b

是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=

a

b

=0，解得a=0，
若b=2，则f（x）=

x+a

x2+b

=

x

x2+2

，
设y=f（x）=

x

x2+2

，
则y（x²+2）=x，
即yx²-x+2y=0，
当y=0时，x=0，此时方程有解，
当y≠0时，∵方程恒有解，
∴△=1-8y²≥0，
即y2≤

1

8

，
即-

2

4

≤y≤

2

4

且y≠0，
综上-

2

4

≤y≤

2

4

，
即函数f（x）的值域为[-

2

4

，

2

4

]．
（2）∵函数f（x）=

x+a

x2+b

是定义在R上的奇函数，
∴f（0）=0，即a=0，
即y=f（x）=

x

x2+b

，
∴yx²-x+by=0，
当y=0时，x=0，此时方程有解，
当y≠0时，∵方程恒有解，
∴△=1-4by²≥0，
即4by²≤1，
∵f（x）的值域为[-

1

4

，

1

4

]，
∴b＞0，
即y2≤

1

4b

，
∴

1

4b

=

1

4

，
即b=1．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数值域的求法，利用判别式法是解决本题的关键．