Question

工厂需要围建一个面积为512m² 的矩形堆料场，一过可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，我们知道，砌起的新墙的总长度y（单位：m）是利用原有墙壁长度x（单位：m）的函数．
（1）写出y关于x的函数解析式，确定x的取值范围：
（2）随着x的变化，y的变化有何规律？
（3）堆料场的长、宽比为多少时，需要砌起的新墙用的材料最省？

Answer 1

考点：函数解析式的求解及常用方法,函数模型的选择与应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意可得矩形与墙面垂直的边长为

y-x

2

，由面积可得x和y的方程，变形可得函数解析式，由实际意义可得x的范围；（2）求导数可得单调性，可得y的变化规律；（3）由（2）可得函数的极值点，可得最值点，可得所求．

解答： 解：（1）由题意可得矩形与墙面垂直的边长为

y-x

2

，
且

y-x

2

•x=512，变形可得y=x+

1024

x

，
由题意可得x＞0，
（2）由（1）知y=x+

1024

x

，求导数可得y′=1-

1024

x2

，
令1-

1024

x2

＜0可解得0＜x＜32，
故当x∈（0，32）时，函数y=x+

1024

x

单调递减，
当x∈（32，+∞）时，函数y=x+

1024

x

单调递增；
（3）由（2）知，函数y=x+

1024

x

在x=32处取到极小值，
唯一的极小值也是最小值，此时y=64，

y-x

2

=16，
故长和宽分别为32和16时，用料最省．

点评：本题考查函数解析式的求解，涉及导数法求函数的最值，属中档题．