Question

已知0＜β＜

π

2

＜α＜π，且cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

（1）求cos（α+β）的值；
（2）已知α，β∈（0，π），且tan（α-β）=

1

2

，tanβ=-

1

7

，求2α-β．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正切函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）由给出的角的范围得到α-

β

2

，

α

2

-β的范围，从而求得对应角的异名三角函数值，进一步求出

α+β

2

的余弦值，由倍角的余弦公式求得cos（α+β）的值；
（2）由已知求得α的正切，在由2α-β=（α-β）+α展开两角和的正切得2α-β的正切值，结合角的范围得答案．

解答： 解：（1）∵0＜β＜

π

2

＜α＜π，∴0＜

β

2

＜

π

4

＜

α

2

＜

π

2

，
则

π

4

＜α-

β

2

）＜π，-

π

4

＜

α

2

-β＜

π

2

．
∵cos（α-

β

2

）=-

1

9

，∴sin（α-

β

2

）=

4 5

9

，
∵sin（

α

2

-β）=

2

3

，∴cos（

α

2

-β）=

5

3

．
∴cos（

α+β

2

）=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]
=cos（α-

β

2

）•cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）•sin（

α

2

-β）
=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

．
cos（α+β）=2cos2

α+β

2

-1=2×(

7 5

27

)2-1=-

239

729

；
（2）∵tan（α-β）=

1

2

，tanβ=-

1

7

，
∴tanα=tan[（α-β）+β]=

tan(α-β)+tanβ

1-tan(α-β)•tanβ

=

1 2 - 1 7

1- 1 2 ×(- 1 7 )

=

1

3

．
∴tan（2α-β）=tan[（α-β）+α]
=

tan(α-β)+tanα

1-tan(α-β)•tanα

=

1 2 + 1 3

1- 1 2 × 1 3

=1．
∵α，β∈（0，π），且tanα=

1

3

，∴0＜α＜

π

6

，
tanβ=-

1

7

，∴

5π

6

＜β＜π．
∴-π＜2α-β＜-

π

2

，∴2α-β=-

3π

4

．

点评：本题考查了两角和与差的三角函数，考查了由三角函数的值求角，关键是对角的拆配，是中档题．