Question

函数f（x）=

2ax+1

x+1

在（-1，+∞）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：解法一：由题意可得当x＞-1时，f′（x）=

2a-1

(x+1)2

＞0，由此求得a的范围．
解法二：由函数f（x）=

2ax+1

x+

=2a+

1-2a

x+1

 在（-1，+∞）上单调递增，可得1-2a＜0，由此求得a的范围．

解答： 解：∵函数f（x）=

2ax+1

x+1

在（-1，+∞）上是单调增函数，
∴当x＞-1时，f′（x）=

2a(x+1)-(2ax+1)×1

(x+1)2

=

2a-1

(x+1)2

＞0，
解得a＞

1

2

，故a的范围是（

1

2

，+∞）．
解法二：∵函数f（x）=

2ax+1

x+

=

2a(x+1)+1-2a

x+1

=2a+

1-2a

x+1

 在（-1，+∞）上单调递增，
∴1-2a＜0，即 a＞

1

2

，
实数a的取值范围为（

1

2

，+∞）．

点评：本题主要考查函数的单调性的性质，导数与函数的单调性间的关系，属于中档题．