Question

5．当x→0时，下列四个无穷小阶数最高的是（　　）

• A． e${\;}^{{x}^{4}-{x}^{3}}$-1
• B． cosx²-1
• C． $\sqrt{1+{x}^{2}}$-1
• D． tanx-sinx

Answer 1

分析 根据无穷小阶数的定义，若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^n}$=c（c≠0），则f（x）为n阶无穷小量，再逐个确定各个函数的阶数．

解答 解：根据无穷小阶数的定义，若$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^n}$=c（c≠0），则f（x）为n阶无穷小量，
对于A：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x^4-x^3}-1}{x^3}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{x^2（4x-3）•{e}^{x^4-x^3}}{3x^2}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{（4x-3）{e}^{x^4-x^3}}{3}$=-1，
所以A选项的阶数是3；
对于B：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{cosx^2-1}{x^4}$=-$\underset{lim}{x→0}$$\frac{2x•sinx^2}{4x^3}$=-$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx^2}{2x^2}$=-$\frac{1}{2}$，
所以B选项的阶数是4；
对于C：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x^2}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1}{\sqrt{1+x^2}+1}$=$\frac{1}{2}$，
所以C选项的阶数是2；
对于D：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{tanx-sinx}{x^3}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cos^3x}{3x^2cos^2x}$=$\underset{lim}{x→0}$=$\frac{1}{2}$•$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx•cos^2x}{x•（cos^2x+xsinxcosx）}$=$\frac{1}{2}$，
所以D选项的阶数是3；
因此，阶数最高的是B选项，故选B．

点评 本题主要考查了极限及其运算，涉及无穷小量阶数的求解，以及运用洛必达法则求函数极限，属于中档题．