Question

15．直线ax+by+c=0与圆x²+y²=16相交于两点M、N．若c²=a²+b²，则$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$（O为坐标原点）等于-14．

Answer 1

分析 取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN．由点到直线的距离公式算出OA=1，从而在Rt△AON中，得到cos∠AON，利用倍角公式求出cos∠MON的值，最后根据向量数量积的公式即可算出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的值．

解答 解：取MN的中点A，连接OA，则OA⊥MN，
∵c²=a²+b²，
∴O点到直线MN的距离OA=$\frac{|c|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=1
x²+y²=16的半径r=4，
∴Rt△AON中，设∠AON=θ，得cosθ=$\frac{OA}{ON}$=$\frac{1}{4}$，
cos∠MON=cos2θ=2cos²θ-1=2×$\frac{1}{16}$-1=-$\frac{7}{8}$，
由此可得，$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=|$\overrightarrow{OM}$|•|$\overrightarrow{ON}$|cos∠MON
=4×4×（-$\frac{7}{8}$）=-14
故答案是：-14．

点评 本题主要考查向量数量积的计算，根据直线和圆的关系求出向量夹角是解决本题的关键，着重考查了直线与圆的位置关系和向量数量积的运算公式等知识点，属于中档题．