Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{4x-3-x^2}$的定义域为A；函数g（x）=log₂[$（\frac{1}{2}）^{x}$+2]在[-1，+∞）上的值域为B．
（1）求A∩（∁_RB）；
（2）若集合C={x|a≤x≤3a-1}，且C∩A=C，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出A，B，结合集合的基本运算进行求解即可．
（2）若C∩A=C，则C⊆A，讨论集合C是否是空集，根据集合关系建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：（1）由4x-3-x²≥0，即x²-4x+3≤0，解得1≤x≤3，即A=[1，3]，
当x≥-1时，0＜$（\frac{1}{2}）^{x}$≤2，则2＜$（\frac{1}{2}）^{x}$+2≤4，则log₂2＜log₂[$（\frac{1}{2}）^{x}$+2]≤log₂4，
即1＜g（x）≤2，即B=（1，2]．
则∁_RB=（-∞，1]∪（2，+∞），
则A∩（∁_RB）=（2，3]；
（2）若C∩A=C，则C⊆A，
若C=∅，则a＞3a-1，即2a＜1，解得a＜$\frac{1}{2}$，
若C≠∅，即a≥$\frac{1}{2}$，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{3a-1≤3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a≥1}\\{a≤\frac{4}{3}}\end{array}\right.$，即1≤a≤$\frac{4}{3}$，
∵a≥$\frac{1}{2}$，
∴1≤a≤$\frac{4}{3}$，
综上1≤a≤$\frac{4}{3}$或a＜$\frac{1}{2}$，
即实数a的取值范围是1≤a≤$\frac{4}{3}$或a＜$\frac{1}{2}$．

点评 本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．