Question

已知函数f（x）=ax²+x，（a∈R且a≠0）
（1）对于任意的实数x₁，x₂，比较

1

2

[f(x1)+f(x2)]与f(

x1+x2

2

)的大小；
（2） 若x∈[0，1]时，有|f（x）|≤1，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用作差进行比较，将

1

2

[f(x1)+f(x2)]与f(

x1+x2

2

)进行作差然后配方，讨论系数的符号确定大小关系；
（2）当x=0时，|f（x）|=0符合题意，当x∈（0，1]时，|f（x）|≤1，然后将a分离出来，求出不等式另一边的最值即可求出a的范围．

解答：解：（1）

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)=

a

4

(x1-x2)²
当a＞0时，

1

2

[f(x1)+f(x2)]-f(

x1+x2

2

)≥0，
即

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥f(

x1+x2

2

)；
当a＜0时，

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤f(

x1+x2

2

)．

（2）∵x∈[0，1]
当x=0时，|f（x）|=0符合题意；
当x∈（0，1]时，|f（x）|≤1
即

ax2+x≤1 ax2+x≥-1

∴

a≤ 1 x2 - 1 x a≥- 1 x2 - 1 x

∴-2≤a≤0
又∵a≠0，∴-2≤a＜0

点评：本题主要考查了函数与方程的综合运用，以及作差比较法和参数分离法的运用，属于基础题．