Question

8．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{CB}$，则λ=$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，画出图形，结合图形，得出$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$①，$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BD}$②；
由①、②得出$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$，从而求出λ的值．

解答 解：△ABC中，D是AB边上一点，$\overrightarrow{AD}$=2$\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}+λ\overrightarrow{CB}$，
如图所示，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{DB}$①，
$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{BD}$，
∴2$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{CB}$+2$\overrightarrow{BD}$=2$\overrightarrow{CB}$-2$\overrightarrow{DB}$②；
①+②得，3$\overrightarrow{CD}$=$\overrightarrow{CA}$+2$\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{CA}$+$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{CB}$；
∴λ=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的加法与减法的几何意义问题，是基础题目．