Question

18．在△ABC中，B=60°，b=$\sqrt{3}$，则c+2a的最大值2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理和已知条件求得a和c的关系，设c+2a=m代入，利用判别大于等于0求得m的范围，则m的最大值可得．

解答 解：由余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
所以a²+c²-ac=b²=3，
设c+2a=m，即c=m-2a，
代入上式得，
7a²-5am+m²-3=0
△=84-3m²≥0，
故m≤2$\sqrt{7}$，当m=2$\sqrt{7}$时，
此时a=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$，c=$\frac{4\sqrt{7}}{7}$符合题意．
因此最大值为2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用．涉及了解三角形和函数方程的思想的运用．