Question

19．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，c=4，则△ABC的面积为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． $\sqrt{3}$
• D． $2\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由已知结合正弦定理得sin2A=sin2B，由A、B是三角形的内角，可得A=B或A+B=90°，由 $\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，得A+B=90°，可得C=180°-（A+B）=90°，设b=$\sqrt{3}$x，a=x，可得c=2x=4，从而解得a，b的值，利用直角三角形面积公式即可的季节．

解答 解：∵$\frac{cosA}{cosB}=\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，
∴acosA=bcosB，结合正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，
∴2sinAcosA=2sinBcosB，即sin2A=sin2B，
∵A、B是三角形的内角，
∴2A=2B或2A+2B=180°，可得A=B或A+B=90°
∵$\frac{b}{a}=\sqrt{3}$，得a、b的长度不相等，
∴A=B不成立，只有A+B=90°，可得C=180°-（A+B）=90°
因此，△ABC是直角三角形
设b=$\sqrt{3}$x，a=x，可得c=2x=4，
∴x=2，于是b=2$\sqrt{3}$且a=2，
由此可得△ABC的面积是S=$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}×2×2\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$．
故选：D．

点评 本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，勾股定理的应用，属于基本知识的考查．