Question

9．已知函数f（x）=|bx-2|+|bx-b|（b∈R）．
（1）当b=1时，解不等式f（x）≥x+3；
（2）若不等式f（x）≥4对任意的实数x都成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把b=1代入，对x分类去绝对值求解不等式得答案；
（2）利用绝对值不等式把f（x）≥4变形，求出f（x）的最小值，再由最小值大于等于4求解得答案．

解答 解：（1）当b=1时，f（x）=|x-2|+|x-1|，
∴不等式f（x）≥x+3变为|x-2|+|x-1|≥x+3，
当x≤1时，不等式变形为2-x+1-x≥x+3，即x≤0．
∴x∈（-∞，0]；
当1＜x＜2时，不等式变形为-x+2+x+1≥x+3，即x≤-2．
∴x∈∅；
当x＞2时，不等式变形为x-2+x-1≥x+3，即x≥6．
∴x∈[6，+∞）．
综上所述，x∈（-∞，0]∪[6，+∞）；
（2）不等式f（x）≥4对任意的实数x都成立?f（x）_min≥4成立．
∵f（x）=|bx-2|+|bx-b|≥|（bx-2）-（bx-b）|=|b-2|．
∴f（x）_min=|b-2|，于是只需|b-2|≥4，
得b-2≤-4或b-2≥4，即b≤-2或b≥6．
∴实数b的取值范围是（-∞，-2]∪[6，+∞）．

点评 本题考查函数的最值及其几何意义，考查绝对值不等式的解法，体现了数学转化思想方法，是中档题．